【105的三角函数值】在三角函数的学习中，常见的角度如30°、45°、60°等的三角函数值较为熟悉，但一些特殊角度如105°的三角函数值可能较少被直接使用或记忆。不过，通过三角恒等式和角度加减法公式，我们可以推导出105°的正弦、余弦和正切值。
105°可以表示为60° + 45°，因此可以通过两角和公式来计算其三角函数值。以下是105°的三角函数值的详细总结：
一、三角函数值计算
1. 正弦（sin）：
$$
\sin(105^\circ) = \sin(60^\circ + 45^\circ) = \sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ
$$
$$
= \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}
$$
2. 余弦（cos）：
$$
\cos(105^\circ) = \cos(60^\circ + 45^\circ) = \cos 60^\circ \cos 45^\circ - \sin 60^\circ \sin 45^\circ
$$
$$
= \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}
$$
3. 正切（tan）：
$$
\tan(105^\circ) = \tan(60^\circ + 45^\circ) = \frac{\tan 60^\circ + \tan 45^\circ}{1 - \tan 60^\circ \tan 45^\circ}
$$
$$
= \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3} \cdot 1} = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}}
$$
有理化分母后可得：
$$
= \frac{(\sqrt{3} + 1)(1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})} = \frac{(1 + \sqrt{3})^2}{-2} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{-2} = -2 - \sqrt{3}
$$
二、105°的三角函数值表格
| 角度 | 正弦 (sin) | 余弦 (cos) | 正切 (tan) |
| 105° | $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ | $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$ | $-2 - \sqrt{3}$ |
三、总结
105°是一个非标准角度，但在实际问题中常通过角度加减法进行转换。利用已知的特殊角（如30°、45°、60°）的三角函数值，结合三角恒等式，可以准确地求出105°的三角函数值。这些值不仅有助于数学计算，也常用于工程、物理等领域中的角度分析与计算。
掌握这些知识，能够帮助我们更灵活地应对复杂的角度问题，提升解题效率与准确性。
