【几何分布的期望和方差是什么】在概率论与数理统计中，几何分布是一个重要的离散型概率分布，常用于描述在一系列独立的伯努利试验中，首次成功发生在第k次试验的概率。根据定义，几何分布有两种形式：一种是首次成功发生在第k次试验（即从1开始计数），另一种是首次成功发生在第k次试验之前（即从0开始计数）。本文主要讨论第一种形式，即首次成功发生在第k次试验的情况。
几何分布的概率质量函数为：
$$
P(X = k) = (1 - p)^{k-1} \cdot p, \quad k = 1, 2, 3, \ldots
$$
其中，p 是每次试验成功的概率，且 $0 < p < 1$。
接下来我们总结几何分布的期望和方差。
几何分布的期望和方差总结
| 概念 | 公式 | 解释说明 |
| 期望（均值） | $ E(X) = \frac{1}{p} $ | 表示在每次试验成功的概率为p的情况下，平均需要进行多少次试验才能首次成功。 |
| 方差 | $ Var(X) = \frac{1 - p}{p^2} $ | 表示随机变量X的波动程度，反映了试验次数围绕期望值的分散情况。 |
示例说明
假设某次考试中，通过的概率为 $ p = 0.2 $，那么根据上述公式：
- 期望为：$ \frac{1}{0.2} = 5 $，即平均需要尝试5次才能通过。
- 方差为：$ \frac{1 - 0.2}{(0.2)^2} = \frac{0.8}{0.04} = 20 $，表示尝试次数的波动较大。
总结
几何分布广泛应用于可靠性分析、排队论、随机过程等领域。理解其期望和方差有助于更深入地掌握该分布的特性，并在实际问题中做出合理的预测和决策。希望本文能够帮助读者更好地理解和应用几何分布的相关知识。
