【高中数学等比数列公式】在高中数学中，等比数列是一个重要的数列类型，广泛应用于数列、函数、指数增长等问题中。理解等比数列的基本概念和相关公式是学习数列知识的关键。以下是对等比数列公式的总结与归纳。
一、基本概念
等比数列（Geometric Sequence）是指从第二项起，每一项与前一项的比值是一个常数的数列。这个常数称为公比，通常用 q 表示。
例如：
2, 6, 18, 54, 162,…
这是一个等比数列，其中首项为 2，公比为 3。
二、等比数列的基本公式
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 第n项公式 | $ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} $ | $ a_1 $ 为首项，$ q $ 为公比，n 为项数 |
| 前n项和公式 | $ S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q} $（当 $ q \neq 1 $） | 当 $ q = 1 $ 时，$ S_n = n \cdot a_1 $ |
| 等比中项公式 | $ b = \sqrt{a \cdot c} $ | 若 $ a, b, c $ 成等比数列，则 b 是 a 和 c 的等比中项 |
三、常见问题与应用
1. 已知首项和公比，求第n项
例如：已知 $ a_1 = 3 $，$ q = 2 $，求第5项。
解：$ a_5 = 3 \cdot 2^{5-1} = 3 \cdot 16 = 48 $
2. 已知首项和公比，求前n项和
例如：已知 $ a_1 = 5 $，$ q = 3 $，求前4项和。
解：$ S_4 = \frac{5(1 - 3^4)}{1 - 3} = \frac{5(1 - 81)}{-2} = \frac{5 \cdot (-80)}{-2} = 200 $
3. 等比中项的应用
若三个数成等比数列，且中间数为等比中项，如 $ x, 4, 16 $，则 $ 4 = \sqrt{x \cdot 16} $，解得 $ x = 1 $。
四、注意事项
- 公比 $ q $ 可以是正数、负数或分数。
- 如果 $ q > 1 $，数列为递增；如果 $ 0 < q < 1 $，数列为递减；如果 $ q < 0 $，数列为摆动数列。
- 当 $ q = 1 $ 时，所有项都相等，此时数列为常数列。
通过掌握这些公式和应用技巧，可以更高效地解决等比数列相关的问题。建议多做练习题，加深对等比数列的理解与运用能力。
