在数学分析中，导数、微分和积分是三个核心概念，它们之间有着紧密的联系。为了更好地理解和应用这些概念，下面将对它们的基本公式进行对比和总结。

一、导数的基本公式

导数是用来描述函数在某一点的变化率。以下是几个常见的导数公式：

1. 常数函数的导数：若 \( f(x) = c \)，则 \( f'(x) = 0 \)

2. 幂函数的导数：若 \( f(x) = x^n \)，则 \( f'(x) = n \cdot x^{n-1} \)

3. 指数函数的导数：若 \( f(x) = e^x \)，则 \( f'(x) = e^x \)

4. 对数函数的导数：若 \( f(x) = \ln(x) \)，则 \( f'(x) = \frac{1}{x} \)

5. 正弦函数的导数：若 \( f(x) = \sin(x) \)，则 \( f'(x) = \cos(x) \)

6. 余弦函数的导数：若 \( f(x) = \cos(x) \)，则 \( f'(x) = -\sin(x) \)

二、微分的基本公式

微分可以看作是导数的一种应用形式，它表示函数的局部线性近似。以下是几个常见的微分公式：

1. 常数的微分：若 \( u = c \)，则 \( du = 0 \)

2. 变量的微分：若 \( u = x \)，则 \( du = dx \)

3. 幂函数的微分：若 \( u = x^n \)，则 \( du = n \cdot x^{n-1} \cdot dx \)

4. 指数函数的微分：若 \( u = e^x \)，则 \( du = e^x \cdot dx \)

5. 对数函数的微分：若 \( u = \ln(x) \)，则 \( du = \frac{1}{x} \cdot dx \)

6. 正弦函数的微分：若 \( u = \sin(x) \)，则 \( du = \cos(x) \cdot dx \)

7. 余弦函数的微分：若 \( u = \cos(x) \)，则 \( du = -\sin(x) \cdot dx \)

三、积分的基本公式

积分是求解函数面积或累积效应的过程。以下是几个常见的积分公式：

1. 常数的积分：\( \int c \, dx = cx + C \)

2. 幂函数的积分：\( \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \) （\( n \neq -1 \)）

3. 指数函数的积分：\( \int e^x \, dx = e^x + C \)

4. 对数函数的积分：\( \int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C \)

5. 正弦函数的积分：\( \int \sin(x) \, dx = -\cos(x) + C \)

6. 余弦函数的积分：\( \int \cos(x) \, dx = \sin(x) + C \)

通过以上对比，我们可以看到导数、微分和积分之间的密切关系。导数给出了函数变化率的信息，而积分则是对这种变化率的累积效果的描述。微分则是连接两者的重要桥梁，帮助我们从局部角度理解整体行为。

希望上述内容能够帮助大家更清晰地掌握导数、微分和积分的基本公式及其相互关系。在实际应用中，灵活运用这些公式能够解决许多复杂的数学问题。